Cuantización por Deformación. Parte 1.

Hoy quiero platicarles un poco a qué me dedico. Actualmente estoy interesado en desarrollar mi tema de tesis, titulado “Tópicos en Cuantización por Deformación”.

Y bueno… ¿qué es la Deformation Quantization? Pues… Aun no lo sé con certeza, pero las ideas básicas irán saliendo poco a poco.

Primero, hay que situarnos un poco en la mecánica clásica. Y ver qué pasa.

Cuando queremos analizar el movimiento de un punto en el espacio, siempre tendemos a corresponderle el espacio “escenario” donde vivirá este monstruo. Este (que generalmente es un espacio tridimensional, aunque nada nos impide pensar en uno con más dimensiones) es al que llamamos espacio de configuración. Aunado a este espacio, existe otro, el espacio de momentos, que se encarga de “registrar” el momento de la partícula (el producto de su masa con su “velocidad”… por así llamarlo). Juntos (el producto cartesiano), el espacio de configuraciones y el espacio de momentos, forman un espacio “más grande” llamado espacio fase, y que resulta ser, en principio, un espacio euclídeo 2n-dimensional (donde n es la dimensión del espacio de configuración -y del de momentos).

Bueno, bueno. Todo esto, ¿para qué? Pues es que el espacio fase representa el espacio de estados físicos admisibles para la partícula que estamos estudiando. Toda su evolución temporal se halla representada en la superficie del espacio fase. Es por ello que dotar de estructura al espacio fase nos permite determinar de manera precisa la dinámica de la partícula.

En el mundo físico “real”, todos los espacios fases son variedades diferenciales. Esto significa que son generalizaciones de superficies suaves, dotados de una estructura diferenciable. Las ecuaciones de movimiento, como son las ecuaciones de Euler-Lagrange y las de Hamilton (de las cuales la dinámica de Newton es un caso particular), se desprenden de manera natural de dicha estructura diferencial, o bien, de la estructura de álgebra de Lie que poseen los espacios fase. Si definimos una operación entre observables clásicos (paréntesis de Poisson) que aproveche la diferenciabilidad, entonces, con esta operación, efectivamente estamos construyendo un álgebra de Lie.

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